设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n.

admin2019-09-29 35

问题设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n.

选项

答案令B=（Β₁,Β₂,...Β_s),因为AB=O,所以B的列向量组Β₁，Β₂，...Β_s为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n-r(A),所以向量组Β₁，Β₂，...Β_s的秩不超过n-r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n-r(A),即r(A)+r(B)≤n。

解析

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