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设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1*=(1一x+x2)ex与y2*=x2ex，则该微分方程为________．
设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1*=(1一x+x2)ex与y2*=x2ex，则该微分方程为________．
admin
2018-09-20
97
问题
设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y
1
*=(1一x+x
2
)e
x
与y
2
*=x
2
e
x
，则该微分方程为________．
选项
答案
y"一2y’+y=2e
x
解析
y=y
1
*—y
2
*=(1一x+x
2
)e
x
一x
2
e
x
=(1一x)e
x
=e
x
—xe
x
为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的一个解．由二阶常系数线性齐次微分方程的特解与对应的特征根的关系，推知r=1为该二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程的二重根，于是特征方程为
(r一1)
2
=r
2
—2r+1=0，
对应的齐次微分方程为
y"一2y’+y=0．
由y
2
*=x
2
e
x
知，此非齐次微分方程的形式为
y"一2y’+y=Ae
x
，
其中常数A待定，以y
2
*=x
2
e
x
代入，得
x
2
e
x
+4xe
x
+2e
x
一2(x
2
e
x
+2xe
x
)+x
2
e
x
=Ae
x
，所以A=2．答案即为所求．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/3xW4777K
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考研数学三
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