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  3. 设A，B是二随机事件，随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

设A，B是二随机事件，随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．

admin2019-05-08  111
问题 设A，B是二随机事件，随机变量
         
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．
选项
答案只需证明cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0，即P(AB)=P(A)P(B)． 记P(A)=p1，P(B)=p2，P(AB)=p12．由数学期望的定义得 E(X)=1×P(A)+(－1)×P([*])=2p1－1． 同理可得 E(Y)=2p2－1． 下面求E(XY)．由于XY只有两个可能取值1和一1，而 [*] 故 [*] 所以 E(XY)=1×P(XY=1)+(－1)×P(XY=－1)=4p12－2p1－2p2+1． 于是 cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=4p12－4p1p2． 因此，cov(X，Y)=0当且仅当p12=p1p2，即当且仅当P(AB)=P(A)P(B)．这就证明了X和Y不相关当且仅当事件A和B相互独立．
解析
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考研数学三

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