设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫0xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2022-06-30 87

问题设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫₀^xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

选项

答案令φ(x)=2x－∫₀^xf(t)dt－1， φ(0)＝－1．φ(1)=1－∫₀¹f(t)dt，由f(x)＜1得∫₀¹f(t)dt＜1，从而φ(1)=1－∫₀¹f(t)dt＞0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，即方程2x－∫₀^xf(t)dt=1至少有一个实根．因为φ’(x)=2－f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上严格递增，故2x－∫₀^xf(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根．

解析

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