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  3. (98年)设x∈(0，1)，证明 (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

(98年)设x∈(0，1)，证明 (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2； (2)

admin2018-07-27  47
问题 (98年)设x∈(0，1)，证明
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；
(2)
选项
答案(1)令φ(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，φ(0)=0 φ’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，φ’(0)=0 [*] 于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ(0)=0，所以在(0，1)内φ(x)＜0．于是φ’(x)在(0．1)内严格单调减少，又φ’(0)=0．故在(0，1)内φ’(x)＜0．故φ(x)在(0，1)内严格单调减少．又φ(0)=0．故在(0．1)内φ(x)＜0． [*] 由(1)知f’(x)＜0．(当x∈(0，1))，于是可知f(x)在(0，1)上严格单调减少．f(1)=[*]故当x∈(0．1)时． [*] 不等式左边证毕．又 [*]
解析
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考研数学二

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