求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值．

admin2016-06-27 81

问题求二元函数z=f(x，y)=x²y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值．

选项

答案先求在D内的驻点，即令 [*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为f(2，1)=4．再求f(x，y)在D边界上的最值 (1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0． (2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0． (3)在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得 f(x,y)=2x²(x一6)， f_x’=6x²一24x=0，得x=0(舍)，x=4，y=6一x=2．于是得驻点[*] 相应的函数值f(4，2)=x²y(4-x—y)|_(4,2)=-64．．综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=-64．

解析

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