设矩阵A=(aij)3×3满足A=AT，其中A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，若a11，a12，a13，是3个相等的正数，则a11=___________.

admin2019-12-26 73

问题设矩阵A=(a_ij)_3×3满足A^*=A^T，其中A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵，若a₁₁，a₁₂，a₁₃，是3个相等的正数，则a₁₁=___________.

选项

答案[*]

解析由|A^T|=|A^*|和|A^*|=|A|^3－1=|A|²，得|A|²=|A|，即
|A|(|A|－1)=0，从而|A|=0或|A|=1．
将|A|按第一行展开，再由A^*=A^T知a_ij=A_ij，得
|A|=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=a₁₁²+a₁₂²+a₁₃²=3a₁₁²＞0，
于是得|A|=1，即3a₁₁²=1，故

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