设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续且满足f(x)=∫0xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞) 上，当x≠0时，f(x) ( )

admin2019-05-15 40

问题设f(x)在区间(－∞，+∞)上连续且满足f(x)=∫₀^xf(x－t)sintdt+x．则在(－∞，+∞) 上，当x≠0时，f(x) ( )

选项 A、恒为正
B、恒为负
C、与c同号
D、与c异号

答案C

解析令x－t=u，作积分变量代换，得
f(x)=∫₀^xf(u)sin(x－u)du+x=sinx∫₀^xf(u)cosudu－cosx∫₀^xf(u)sinudu+x，
f’(x)=cosx∫₀^xf(u)cosudu+sinx∫₀^xf(u)sinudu+1，
f’’(x)=－sinx∫₀^xf(u)cosudu+cos²x.f(x)+cosx∫₀^xf(u)sinudu+sin²x.f(x)=x．
所以f(x)=

+C₁x+C₂，又因f(0)=0，f’(0)=1．所以
C₁=1，C₂=0，

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