设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(x)的表达式。

admin2017-09-18 70

问题设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件：
f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2e^x。
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式。

选项

答案题目要求F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含自其导函数，自然向导对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由F(x)=f(x)g(x)，有 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g²(x)+f²(x) =[f(x)+g(x)]²一2f(x)g(x)=(2e^x)²一2F(x) 可见F(x)所满足的一阶微分方程为，F’(x)+2F(x)=4e^2x，相应的初始条件为F(0)=f(0)g(0)=0。 (2)由题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程，求F(x)的表达式只需解一阶微分方程。又一阶线性非齐次微分方程[*]的通解为 [*] 所以：F(x)=e^一∫2dx[∫4e^2x．e^∫2dxdx+C]=e^一2x[∫4e^4xdx+C]=e^2x+Ce^一2x 将F(0)代入上式，得C=一l，所以F(x)=e^2x一e^一2x。

解析

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设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(x)的表达式。

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