设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

admin2019-08-06 71

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=（一1，2，一1）^T，α₂=（0，一1，1）^T是线性方程组Ax=0的两个解。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得Q^TAQ=Λ。

选项

答案（Ⅰ）因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值，α=（1，1，1）^T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k（1，1，1）^T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα₁=0，Aα₂=0，即Aα₁=0．α₁，Aα₂=0．α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k₁α₁+k₂α₂=k₁（一1，2，一1）^T+k₂（0，一1，1）^T，其中k₁，k₂是不全为零的常数。（Ⅱ）因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，只需将α₁与α₂正交化。由施密特正交化法，取 β₁=α₁，β₂=α₂一[*] 再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=（η₁，η₂，η₃），则Q^—1=Q^T，且 [*]

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/35J4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

考研数学三

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；

甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率．

设相似于对角阵．求：a及可逆阵P，使得P－1AP=A，其中A为对角阵.

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0．f’+(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设总体X～N(0，1)，(X1，X2，…，Xm，Xm+1，…，Xm+n)为来自总体X的简单随机样本，求统计量所服从的分布．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．求旋转曲面的方程；

设总体X的概率分布为，其中p(0＜p＜1)是未知参数，又设x1，x2，…，xn是总体X的一组样本观测值．试求参数p的矩估计量和最大似然估计量．

设正态总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本，求证：

设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到两次成功为止．设X为所需要进行的试验次数，求X的概率分布及E(X)．

把决策分为确定型决策、风险型决策和不确定型决策的划分标准是()

女，30岁，尿频、尿急、尿痛伴血尿3天；发热T38℃；血常规：WBC6．0×109／L，RBC4．0×1012／L，PLT120×109／L。尿常规：蛋白(+)、沉渣WBC10～14／HP，RBC(+)，白细胞管型0一1个／HP；对该患者治疗的说法正确的是

根据《个人所得税法实施条例》的规定，“个人取得的应纳税所得”包括下列()。

对检定、校准、检测人员的资质有什么要求?

施工机械台班单价包括台班(　　)。

国有企业甲、上市公司乙、自然人丙协商，拟共同投资设立一合伙企业从事贸易业务。根据合伙企业法律制度的规定，下列选项中，错误的有()。

价格是市场机制的核心，是最灵敏的调节手段。()

下列关于生物生殖、发育的叙述，不正确的是：

根据经济和社会发展的需要，某市拟将所管辖的一个县变为市辖区。根据《宪法》规定，上述改变应由下列哪一机关批准?()

Ifyoutoldthetruthtoyourprincipal,he______abletogiveyoumuchbettersuggestionsthanIcan.

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

考研数学三

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；

甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率．

设相似于对角阵．求：a及可逆阵P，使得P－1AP=A，其中A为对角阵.

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0．f’+(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设总体X～N(0，1)，(X1，X2，…，Xm，Xm+1，…，Xm+n)为来自总体X的简单随机样本，求统计量所服从的分布．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．求旋转曲面的方程；

设总体X的概率分布为，其中p(0＜p＜1)是未知参数，又设x1，x2，…，xn是总体X的一组样本观测值．试求参数p的矩估计量和最大似然估计量．

设正态总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本，求证：

设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到两次成功为止．设X为所需要进行的试验次数，求X的概率分布及E(X)．

把决策分为确定型决策、风险型决策和不确定型决策的划分标准是()

女，30岁，尿频、尿急、尿痛伴血尿3天；发热T38℃；血常规：WBC6．0×109／L，RBC4．0×1012／L，PLT120×109／L。尿常规：蛋白(+)、沉渣WBC10～14／HP，RBC(+)，白细胞管型0一1个／HP；对该患者治疗的说法正确的是

根据《个人所得税法实施条例》的规定，“个人取得的应纳税所得”包括下列()。

对检定、校准、检测人员的资质有什么要求?

施工机械台班单价包括台班( )。

国有企业甲、上市公司乙、自然人丙协商，拟共同投资设立一合伙企业从事贸易业务。根据合伙企业法律制度的规定，下列选项中，错误的有()。

价格是市场机制的核心，是最灵敏的调节手段。()

下列关于生物生殖、发育的叙述，不正确的是：

根据经济和社会发展的需要，某市拟将所管辖的一个县变为市辖区。根据《宪法》规定，上述改变应由下列哪一机关批准?()

Ifyoutoldthetruthtoyourprincipal,he______abletogiveyoumuchbettersuggestionsthanIcan.

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

施工机械台班单价包括台班(　　)。