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  3. 问a、b为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?并求出有无穷多解时的通解．

问a、b为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?并求出有无穷多解时的通解．

admin2022-03-20  10
问题 问a、b为何值时，线性方程组

有唯一解、无解、有无穷多组解?并求出有无穷多解时的通解．
选项
答案将方程组的增广矩阵[*]用初等行变换化成阶梯形： [*] 于是可知(记方程组的系数矩阵为A) 当a≠1时，r(A)=[*]=4，因而方程组有唯一解． 当a=1且b≠一1时，r(A)=2，[*]=3，故方程组无解． 当a=1且b=一1时，r(A)=[*]进一步化成简化行阶梯形 [*] 故得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 [*]
解析 本题主要考查如何根据方程组系数矩阵及增广矩阵的秩来判定解的情况，以及在有解时如何求其通解．注意在求解含有参数的方程组时，为了确定矩阵的秩，需要对参数的不同取值进行分类讨论，特别应注意“二分法”．例如本题中对参数的分类是

这样分法，既不重复，也不遗漏．还应注意在方程组有无穷多解时，当把化成阶梯形后，应该先选取约束未知量(通常取与阶梯形矩阵中的首非零元对应的未知量为约束未知量)，从而，余下来的未知量自然就是自由未知量了．
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考研数学一

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