2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12—6y22—6y32，其中矩阵Q的第1列是α1=()T．求二次型f(x1，x2，x3)的表达式．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12—6y22—6y32，其中矩阵Q的第1列是α1=()T．求二次型f(x1，x2，x3)的表达式．

admin2017-07-26  85
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12—6y22—6y32，其中矩阵Q的第1列是α1=()T．求二次型f(x1，x2，x3)的表达式．
选项
答案由题设A的三个特征值分别为λ1=3，λ2=λ3=一6，且属于λ1=3的特征向量是α1=(1，2，2)T． 设λ2=λ3=一6的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，因A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，有x，α1=0，即 x1+2x2+2x3=0． 得α2=(0，1，一1)T，α3=(2，0，一1)T是属于λ2=λ2=一6的特征向量． 先将α2，α3正交化，有 β2=α2， [*] 故所求的二次型为xTAx=一5x12—2x22—2x32+4x1x2+4x1x3+8x2x3．
解析
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考研数学三

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