求正交变换化二次型x12+x22+x32+4x1x2-4x2x3-4x1x3为标准形．

admin2018-06-27 79

问题求正交变换化二次型x₁²+x₂²+x₃²+4x₁x₂-4x₂x₃-4x₁x₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵A=[*]，由特征多项式｜λE-A｜=[*]=(λ+3)(λ-3)²，得特征值为λ₁=λ₂=3，λ₃=-3．由(3E-A)x=0得基础解系α₁=(-1，1，0)T，α₂=(-1，0，1)^T，即λ=3的特征向量是α₁，α₂．由(-3E-A)x=0得基础解系α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schmidt正交化，有 β₁=α₁，β₂=αα₂-[*] 单位化，得 [*] 那么，令x=Qy，其中Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^TAy=3y₁²+3y₂²-3y₃²．

解析

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