已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若 β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4，则Ax=β的通解为 ________ ．

admin2019-01-05 93

问题已知4阶方阵A=[α₁，α₂，α₃，α₄]，α₁，α₂，α₃，α₄均为4维列向量，其中α₁，α₂线性无关，若
β=α₁+2α₂一α₃=α₁+α₂+α₃+α₄=α₁+3α₂+α₃+2α₄，则Ax=β的通解为 ________ ．

选项

答案[*] k₁，k₂∈R

解析由β=α₁+2α₂-α₃-α₁+α₂+α₃+α₄-α₁+3α₂+α₃+2α₄

由于α₁，α₂线性无关，可知r(A)≥2．又由于Ax=0有两个线性无关的解β₁一β₂，β₂一β₃，可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量，也即4一r(A)≥2，即r(A)≤2．综上，r(A)=2，Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量，故β₁一β₂，β₂一β₃即为Ax=0的基础解系，故Ax=β的通解为

，k₁，k₂∈R．

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考研数学三

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已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若 β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4，则Ax=β的通解为 ________ ．

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设线性方程组已知（1，—1，1，—1）T是该方程组的一个解，求方程组所有的解。

设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

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