设α1=（1，3，5，一1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，一1，7）T． ①若α1，α2，α3线性相关，求α． ②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α

admin2016-07-29 90

问题设α₁=（1，3，5，一1）^T，α₂=（2，7，a，4）^T，α₃=（5，17，一1，7）^T．
①若α₁，α₂，α₃线性相关，求α．
②当a=3时，求与α₁，α₂，α₃都正交的非零向量α₄．
③设a=3，α₄是与α₁，α₂，α₃都正交的非零向量，证明α₁，α₂，α₃，α₄可表示任何一个4维向量．

选项

答案①α₁，α₂，α₃线性相关，则r(α₁，α₂，α₃)＜3． (α₁，α₂，α₃)=[*] 得a=一3． ②与α₁，α₂，α₃都正交的非零向量即齐次方程组 [*] 的非零解，解此方程组： [*] 解得α₄=c(19，一6，0，1)^T，c≠0． ③只用证明α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，此时对任何4维向量α，有α₁，α₂，α₃，α₄，α线性相关，从而α可以用α₁，α₂，α₃，α₄线性表示．由①知，a=3时，α₁，α₂，α₃线性无关，只用证明α₄不能α₁，α₂，α₃线性表示．用反证法，如果α₄能用α₁，α₂，α₃线性表示，设α₄=c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃，则(α₄，α₄)=(α₄，c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃)=c₁(α₄，α₁)+c₂(α₄，α₂)+c₃(α₄，α₃)=0．得α₄=0，与α₄是非零向量矛盾．

解析

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考研数学三

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