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α1=（1，0，0，1）T，α2=（1，1，0，0）T，α3=（0，2，—1，—3）T，α4=（0，0，3，a）T，β=（1，b，3，2）T. ①a取什么值时α1，α2，α3，α4线性相关？此时求α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并且把其余向量用
α1=（1，0，0，1）T，α2=（1，1，0，0）T，α3=（0，2，—1，—3）T，α4=（0，0，3，a）T，β=（1，b，3，2）T. ①a取什么值时α1，α2，α3，α4线性相关？此时求α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并且把其余向量用
admin
2020-07-02
107
问题
α
1
=（1，0，0，1）
T
，α
2
=（1，1，0，0）
T
，α
3
=（0，2，—1，—3）
T
，α
4
=（0，0，3，a）
T
，β=（1，b，3，2）
T
.
①a取什么值时α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关？此时求α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．
②在α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关的情况下，b取什么值时β可用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表示？写出一个表示式．
选项
答案
两个小题都关系到秩，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关[*]r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)＜4；β可用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表示[*]r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，β)=r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)．因此应该从计算这两个秩着手． 以α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，β为列向量构造矩阵（α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，β），然后用初等行变换把它化为阶梯形矩阵： (α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，β)= [*] ①r（α
1
，α
2
，α
3
，α
4
）＜4[*]a=3．α
1
，α
2
，α
3
是α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的一个极大线性无关组，并且 α
4
=—6α
1
+6α
2
—3α
3
． （α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，β)=r（α
1
，α
2
，α
3
，α
4
）=3，则b=2．β=—7α
1
+8α
2
—3α
3
．
解析
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考研数学三
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