2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，求证：[∫abf(x)dx]2≤(b—a)∫abf2(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续，求证：[∫abf(x)dx]2≤(b—a)∫abf2(x)dx．

admin2018-06-14  4
问题 设f(x)在[a，b]上连续，求证：[∫abf(x)dx]2≤(b—a)∫abf2(x)dx．
选项
答案设积分区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，由∫abf(x)dx=∫abf(y)dy可知二重积分 [*]f(x)f(y)dσ=∫abdx∫abf(x)f(y)dy=∫abf(x)dx∫abf(y)dy=[∫abf(x)dx]2． 另一方面利用不等式f(x)f(y)≤[*][f2(x)+f2(y)]，又有 [*][f2(x)+f2(y)]dσ =[*]f(y)dσ] =[*][∫abf2(x)dx∫abdy+∫abdx∫abf2(y)dy] =[*](b—a)[∫abf2(x)dx+∫abf2(y)dy] =(b一a)∫abf2(x)dx． 综合即得 [∫abf(x)dx]2≤(b一a)∫abf2(x)dx．
解析
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考研数学三

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