设n阶矩阵A与B等价，则必有( )

admin2020-06-05 17

问题设n阶矩阵A与B等价，则必有( )

选项 A、当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a
B、当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝﹣a
C、当｜A｜≠0时，｜B｜＝0
D、当｜A｜＝0时，｜B｜＝0

答案D

解析矩阵A与矩阵B等价，即A经初等变换可得到矩阵B，也就是A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩．经过初等变换行列式的值不一定相等，也不一定是相反数，例如把矩阵A的第1行乘以5得到矩阵B，那么矩阵A与B等价，而｜A｜＝a时，｜B｜＝5a．可见(A)与(B)均不正确．
当｜A｜≠0时，说明秩R(A)＝n，而｜B｜＝0，说明R(B)﹤n，因此(C)不正确．
当｜A｜＝0时，R(A)﹤n，由A与B等价，知秩R(B)＝R(A)﹤n，因此｜B｜＝0．

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