求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

admin2020-03-05 44

问题求抛物面z=1+x²+y²的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)²+y²=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

选项

答案设M₀(x₀，y₀，z₀)是抛物面上的任意一点，则该点处的切平面方程为[*] 即2x₀(x一x₀)+2y₀(y一y₀)一z一(1+x₀²+y₀²)]=0．于是， z=2x₀x+2y₀y+1一x₀²一y₀²．由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x，y)｜(x一1)²+y²≤1}，则所围成的体积为 [*] 由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积V确有最小值．故当x₀=1，y₀=0时，体积V达到最小[*] 此时，切平面方程为2(x—1)一(z一2)=0，即2x—z=0．

解析本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程，切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积．
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在．

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求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．

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