2. 考研
  3. (1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M． (2)设f(x)在[s，b]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a

(1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M． (2)设f(x)在[s，b]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a

admin2019-09-04  61
问题 (1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．
(2)设f(x)在[s，b]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．
选项
答案(1)由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)=0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，2)，使得 f(c)-f(0)=f’(ξ1)c， f(2)-f(c)=f’(ξ2)(2-c)， 于是｜f(0)｜=｜f’(ξ1)｜c≤Mc，｜f(2)｜=｜f’(ξ2)｜(2-c)≤M(2-c)， 故｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M． (2)由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值，从而f’(c)=0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 f’(c)-f’(a)-f’’(ξ1)(c-a)， f’(b)-f’(c)=f’’(ξ2)(b-c)， 于是｜f’(a)｜=｜f’’(ξ1)｜(c-a)≤M(c-a)， ｜f’(b)｜=｜f’’(ξ2)｜(b-c)≤M(b-c)， 故｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．
解析
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考研数学三

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