2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)=，f(1)=1，f’(1)=1，证明： 存在η∈(0，1)，使得f"(η)+f’(η)一η=1．

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)=，f(1)=1，f’(1)=1，证明： 存在η∈(0，1)，使得f"(η)+f’(η)一η=1．

admin2020-10-21  65
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)=，f(1)=1，f’(1)=1，证明：
存在η∈(0，1)，使得f"(η)+f’(η)一η=1．
选项
答案取G(x)=[f(x)一x]ex，则G’(x)=[f"(x)+f’(x)一x一1]ex， 显然G(x)在[ξ，1]上连续，在(ξ，1)内可导，G(ξ)=G(1)=0，由罗尔定理，存在η∈(ξ，1) [*](0，1)，使得 G’(η)=[f"(η)+f’(η)一η—1]η=0，即f"(η)+f’(η)一η=1．
解析
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考研数学二

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