设f(x)二阶可导，,且f(1）=1，证明：存在ε∈（0，1），使得 f"(ε)-2f’(ε)=-2.

admin2019-05-27 75

问题设f(x)二阶可导，

,且f(1）=1，证明：存在ε∈（0，1），使得
f"(ε)-2f’(ε)=-2.

选项

答案[*]得f(0)=0,f’(0)=1；由拉格朗日中值定理，存在c∈(0,1),使得 f’(c)=[*]=1,令φ（x)=e^-2x[f’(x)-1],φ(0)=φ(c)=0, 由罗尔定理，存在ε∈（0，c)?(0,1)使得φ’（ε）=0，而φ’（x)=-2e^-2x[f’(x）-1]+e^-2xf"(x)=e^-2x[f"(x)-2f’(x）+2],且e^-2x≠0, 故f"（ε）-2f’（ε）=-2.

解析

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