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设a,b,c>0,在椭球面=1的第一卦限部分求一点,使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小.
设a,b,c>0,在椭球面=1的第一卦限部分求一点,使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小.
admin
2018-06-15
78
问题
设a,b,c>0,在椭球面
=1的第一卦限部分求一点,使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小.
选项
答案
先写出椭球面上[*]点(x,y,z)处的切平面方程,然后求出它在三条坐标轴上的截距,由此可写出四面体的体积表达式V(x,y,z).问题化为求V(x,y,z)在条件[*]=1下的最小值点. 将椭球面方程改写成G(x,y,z)≡[*]-1=0. [*]椭球面第一卦限部分上[*]点(x,y,z)处的切平面方程是 [*] 其中(X,Y,Z)为切平面上任意点的坐标. 分别令Y=Z=0,Z=X=0,X=Y=0,得该切平面与三条坐标轴的交点分别为 [*] 为了简化计算,问题转化成求V
0
=xyz(x>0,y>0,z>0)在条件[*]=1下的最大值点. 令F(x,y,z,λ)=xyz+λ([*]-1),求解方程组 [*] 将方程①,②,③分别乘x,y,z得x
2
/a
2
=y
2
/b
2
=z
2
/c
2
. 代入方程④得 [*] 因实际问题存在最小值,因此椭球面上点(x,y,z)=([*])处相应的四面体的体积最小.
解析
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考研数学一
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