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f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt的单调性为[ ]．
f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt的单调性为[ ]．
admin
2016-03-01
66
问题
f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)＞0，则F(x)=∫
0
x
(x
2
一t
2
)f(t)dt的单调性为[ ]．
选项
A、在(一∞，+∞)上单调增加
B、在(一∞，+∞)上单调减少
C、在(一∞，0)上单调增加，在(0，+∞)上单调减少
D、在(一∞，0)上单调减少，在(0，+∞)上单调增加
答案
A
解析
F(x)=x
2
∫
0
x
f(t)dt—∫
0
x
t
2
f(t)dt，
F’(x)=2x∫
0
x
f(t)dt+x
2
f(x)一x
2
f(x)=2x∫
0
x
f(t)dt．
因f(x)＞0，当x＜0时，∫
0
x
f(t)dt=一∫
x
0
f(t)dt＜0，所以
x∫
0
x
f(t)dt＞0．
当x＞0时，∫
0
x
f(t)dt＞0，所以，x∫
0
x
f(t)dt＞0．因此在(一∞，+∞)上F’(x)≥0．从而F(x)在(一∞，+∞)上是单调增加的．
故选(A)．
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