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设F(x)=∫-11｜t－x｜dt－(1+e-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )
设F(x)=∫-11｜t－x｜dt－(1+e-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )
admin
2022-03-23
85
问题
设F(x)=∫
-1
1
｜t－x｜
dt－
(1+e
-1
），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )
选项
A、恰为0
B、恰为1
C、恰为2
D、至少为3
答案
C
解析
F(x)=∫
-1
x
(x－t)
dt+∫
x
1
(t－x)
dt－
(1+e
-1
)
=x∫
-1
x
dt－∫
-1
x
t
dt+∫
x
1
t
dt－x∫
x
1
dt－
(1+e
-1
)
F’(x)=∫
-1
x
dt+x
－x
－x
－∫
x
1
dt+x
=∫
-1
x
dt－∫
x
1
dt
对第二个积分作积分变量代换，令t=－μ,有
F’(x)=∫
-1
x
dt+∫
-x
-1
du=∫
-x
x
dt=2∫
0
x
dt
所以当x＞0时，F’(x)＞0；
当x＜0时，F’(x)＜0.
所以F(x)在区间(－1,0)内严格单调减少，在区间(0,1)内严格单调增加，再讨论F(x)在点x=－1,x=0，x=1函数值的正负，以确定F(x)=0的实根个数.
F(－1)=∫
-1
1
t
dt+∫
-1
1
dt－
(1+e
-1
）=0+∫
0
1
dt－
(1+e
-1
）＞2∫
0
1
e
-1
dt－
(1+e
-1
)=
＞0
F(0)=∫
-1
1
｜t｜
dt－
(1+e
-1
）=2∫
0
1
t
dt－
（1+e
-1
)
=－e
-1
+1－
(1+e
-1
)=
＜0
F(1)=∫
-1
1
dt－∫
-1
1
t
dt－
(1+e
-1
）=2∫
0
1
dt－1/2(1+e
-1
)＞2∫
0
1
e
-1
dt－1/2(1+e
-1
)=
＞0.
由连续函数零点定理可知，F(x)=0在区间(－1,0)与区间(0,1)内分别至少有一实根，再由单调性可知，在这两个区间内正好各有一实根，故有两个实根，选C。
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/1BR4777K
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考研数学三
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