证明：线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)是同解方程组．

admin2019-11-25 108

问题证明：线性方程组(Ⅰ)

有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)

与(Ⅲ)

是同解方程组．

选项

答案令A＝[*]＝(a₁，a₂，…，a_n)，b＝[*]，X＝[*]，Y＝[*]，方程组(Ⅰ)可写为AX＝b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A^TY＝0及Y＝0．若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)＝r(A[*]b)，从而r(A^T)＝r[*]，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(A^T)＝r[*]，从而r(A)＝r(A[*]b)，故方程组(Ⅰ)有解．

解析

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