证明：二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2019-01-23 77

问题证明：二次型f(x)=x^TAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

选项

答案A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得 QAQ^-1=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=A，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的特征值，不妨设λ₁最大。作正交变换y=Qx，即x=Q^-1y=Q^Ty，则 f=x^TAx=y^TQAQ^Ty=y^TΛy=λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ_ny_n²，因为y=Qx，所以当||x||=1时，有 ||x||²=x^Tx=y^TQQ^Ty=||y||²=1，即 y₁²+y₂²+…+y_n²=1。因此 f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λ_ny_n²≤λ₁(y₁²+y₂²+…+y_n²)=λ₁。又当y₁=1，y₃=y₂=…=y_n=0时,=fλ₁，所以f_max=λ₁。

解析

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