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  3. [2015年] 计算二重积分x(x+y)dxdy，其中 D={(x，y)∣x2+y2≤2，y≥x2}．

[2015年] 计算二重积分x(x+y)dxdy，其中 D={(x，y)∣x2+y2≤2，y≥x2}．

admin2019-05-10  56
问题 [2015年]  计算二重积分x(x+y)dxdy，其中
D={(x，y)∣x2+y2≤2，y≥x2}．
选项
答案求出曲线x2+y2=2与y=x2的交点，绘出D的图形如图1．5．1．7所示，分析区域D的对称性、被积函数或其子函数的奇偶性，再按一般方法计算． [*] x2+y2=2，y=x2，由y+y2=2得交点的纵坐标为y=1，于是y=x2=1，故x=±1．显然区域D关于y轴对称：D=D1∪D2，其中D1={(x，y)∣0≤x≤1，x2≤y≤[*]}，且xy为x的奇函数，故[*]xydxdy=0．于是 I=[*]x(x+y)dxdy=2[*](x2+xy)dxdy=2[*]x2dxdy =2∫01x2dx[*]dy=2∫01x2[*]dx－2∫01x4dx =2∫01x2[*] =4∫0π/2sin2tcostdt一[*]=4∫0π/2sin2tcos2tdt一[*] =4∫0π/2sin2t(1一sin2t)dt—[*]=4∫0π/2sin2tdt－4∫0π/2sin4tdt一[*] =[*] =[*].
解析
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考研数学二

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