2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]可导且f(1)＝f(x)dx，求证：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．

设f(x)在[0，1]可导且f(1)＝f(x)dx，求证：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．

admin2017-08-18  24
问题 设f(x)在[0，1]可导且f(1)＝f(x)dx，求证：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．
选项
答案令F(x)＝[*]f(x)，则F(x)在[0，1]可导，且 F(1)＝e—1f(1)＝2e—1[*]f(x)dx＝[*]f(η)＝F(η)，η∈[0，[*]]． 因此，由罗尔定理，[*]ξ∈(0，η)[*](0，1)，使得 F’(ξ)＝[*]f’(ξ)一2ξf(ξ)[*]＝0， 即f’(ξ)＝2ξf(ξ)．
解析
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考研数学一

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