设f(x)在[0，1]上连续且满足，f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

admin2018-05-23 129

问题设f(x)在[0，1]上连续且满足，f(0)=1，f^’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

选项

答案由f^’(x)一f(x)=a(x一1)得 f(x)=[a∫(x一1)e^∫－1dxdx+C]e^－∫－dx=Ce^x－ax 由f(0)=1得C=1，故f(x)=e^x一ax． V(a)=π∫₀¹f²(x)dx=[*]，由V^’(a)=π(一2+[*])=0得a=3，因为V^’’(a)=[*]＞0，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=e^x一3x．

解析

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考研数学一

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