设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，证明： [∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx．

admin2017-07-26 114

问题设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，证明：
[∫_a^bf(x)dx]²(b—a)∫_a^bf²(x)dx．

选项

答案因为f(x)在区间[a，b]上连续，则[f(x)一f(y)]²在区域D上可积，且 0≤[*]f²(y)dxdy =∫_a^bdy∫_a^bf²(x)dx一2∫_a^bf(x)dx．∫_a^bf(y)dy+∫_a^bdx∫_a^bf²(y)dy =2(b一a)∫_a^bf²(x)dx一2[∫_a^bf(x)dx]²，由此可得[∫_a^bf(x)dx]²≤(b一a)∫_a^bf²(x)dx．

解析在不等式的证明中，若含有一个函数f(x)的平方f²(x)，以及f(x)的某种表达式的平方，一般采用构造一个新的函数形式，如[f(x)一f(y)]²等．

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