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二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=__________。
二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=__________。
admin
2019-12-24
139
问题
二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’+5y=e
x
cos
2
x的通解为y(x)=__________。
选项
答案
[*],C
1
,C
2
为任意常数
解析
该方程所对应的齐次方程的特征方程为λ
2
-2λ+5=0,解得特征根为λ=1±2i,可知齐次方程的通解为e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)。
该方程的非齐次项
根据叠加原理
此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得
y’’-2y’+5y=1/2e
x
, ①
y’’-2y’+5y=1/2e
x
cos2x, ②
根据特征根λ=1±2i可知,方程①的特解可设为y
1
*
=Ce
x
代入方程①解得C=1/8,故y
1
*
=1/8e
x
;方程②的特解可设为
y
2
*
=xe
x
(Acos2x+Bsin2x),
代入方程②解得A=0,B=1/8,故y
2
*
=1/8xe
x
sin2x。
所以y
*
(x)=y
1
*
+y
2
*
=1/8e
x
+1/8xe
x
sin2x。
故该方程的通解为
e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+1/8e
x
+1/8xe
x
sin2x,C
1
,C
2
为任意常数。
本题考查微分方程的解的结构,即解的叠加原理。方程最终的解是对应齐次微分方程的通解以及对应特解的和。
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/01D4777K
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考研数学三
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