2. 考研
  3. (2001年试题，八)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小．

(2001年试题，八)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点． (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小．

admin2013-12-18  116
问题 (2001年试题，八)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点．
(1)试求曲线L的方程；
(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成图形的面积最小．
选项
答案由题设，设曲线L在点P(x，y)的切线方程为Y—y=)y’(X一x)， 则该切线在y轴上的截距为y—y’x，而点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离为[*]，由已知[*]，即有[*]令[*]，则[*]分离变量得[*]． 两边积分后将[*]代入可得[*]又由已知曲线L经过点[*]代入上式得[*]． 因此曲线L的方程为[*]曲线L：[*]在第一象限内点P(x，y)处切线为[*] 即[*]它与x轴及y轴交点分别为[*] 因而所围成图形的面积为[*]令S’(x)=0， 得驻点[*]当[*]时S’(x)<0； 当[*]S’(x)>0，所以[*]是s(x)的极小值点，从而也就是最小值点， 此时切线方程为[*]化简得[*]
解析 把实际问题通过建立微分方程的数学模型转化为数学问题，再对微分方程进行求解，这是解决实际问题的一种重要方法．
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考研数学二

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