设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2021-11-09 72

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故AX=0的基础解系(含n一r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n一r₂个无关解)之中，所以 n一r₁≤n一r₂，故有r₂≤r₁，即r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=0，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]=0，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n-r(A^TA)≤n-(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解,r(A^TA)=r(A^TA|A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)=r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T|A^Tb)=r(A^TA|A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T|A^Tb)=r(A^TA|A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

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考研数学二

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