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  3. 设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB＝0．证明：r(A)＋r(B)≤n．

设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB＝0．证明：r(A)＋r(B)≤n．

admin2020-03-05  48
问题 设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB＝0．证明：r(A)＋r(B)≤n．
选项
答案令B＝(β1，β2，…，βs)，因为AB＝0，所以B的列向量组β1，β2，…，βs为方程组AX＝0的一组解，而方程组AX＝0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n一r(A)，所以向量组β1，β2，…，βs的秩不超过n一r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n—r(A)，即r(A)＋r(B)≤n．
解析
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考研数学一

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