2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求： (1)a的值． (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2020-09-25  106
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求：
  (1)a的值．
  (2)正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形．
  (3)方程f(x1，x2，x3)=0的解．
选项
答案(1)二次型矩阵A=[*] 因为R(A)＜3，所以|A|=0，即一8a=0，所以a=0． (2)由(1)得A=[*] 令|λE一A|=[*]=λ(λ一2)2=0， 解得A的特征值为λ1=0，λ2=λ3=2． ①当λ=0时，解(一A)x=0得特征向量ξ1=(1，一1，0)T． ②当λ=2时，解(2E-A)x=0得特征向量ξ2=(1，1，0)T，ξ3=(0，0，1)T，观察可知ξ2，ξ3正交，因此只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化即可， [*] 则正交变换x=Qy可得f(x1，x2，x3)=2y22+2y32． (3)f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0， 即[*]得方程解为k(1，一1，0)T．
解析
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考研数学三

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