求微分方程y"+y’-2y=xex+sin2x的通解。

admin2021-01-28 101

问题求微分方程y"+y’-2y=xe^x+sin²x的通解。

选项

答案特征方程为λ²+λ-2=0，特征值为λ₁=-2，λ₂=1，y"+y’-2y=0的通解为y=C₁e^-2x+C₂e^x，设y"+y’-2y=xe^x(*) y"+y’-2y=sin²x(**) 令(*)的特解为y₁(x)=(ax²+bx)e^x，代入(*)得a=1/6，b=-1/9，由y"+y’-2y=sin²x得y"+y’-2y=(1/2)(1一cos2x)，显然y"+y’-2y=1/2有特解y=-1/4，对y"+y’-2y=-(1/2)cos2X，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x，代人得A=3/40，B=-1/40，则y₁(x)=-(1/4)+(3/40)cos2x-(1/40)sin2x，所以原方程的通解为 y=C₁e^-2x+C₂e^x+(x₂/6-x/9)e^x-1/40+(3/40)cos2x-(1/40)sin2x。

解析

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