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  3. [2011年] 微分方程y′+y=e-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

[2011年] 微分方程y′+y=e-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

admin2019-05-10  105
问题 [2011年]  微分方程y′+y=e-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．
选项
答案 利用式(1．6．1．2)求出通解，再由y(0)=0得特解，也可直接利用式(1．6．1．3)求解．因方程右端含e-x因子，还可用凑导数法求之． 解一 注意到y′+y=y′+(x)′y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到 y′ex+exx′y=exe-xcosx=cosx， 即(yex)′=cosx． 两边积分得到 yex=∫cosxdx+C=sinx+C， 即 y=e-xsinx+Ce-x． 由y(0)=0，得到c=0，故所求特解为y=e-xsinx． 解二 所求的特解为满足初值问题[*]的解，其解由式(1．6．1．3)直接得到，其中P(x)=1，Q(x)=e-xcosx，故 y=e-∫0xP(x)dx(∫0xQ(x)e∫0xP(x)dxdx+0)=e-∫0xdx(∫0xe-xcosxe∫0xdxdx) =e-x(∫0xe-xexcosx dx)=e-x∫0xcosxdx=e-xsinx．
解析
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考研数学二

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