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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,又g(x)在[a,b]上连续,求证:存在ξ∈(a,b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,又g(x)在[a,b]上连续,求证:存在ξ∈(a,b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ).
admin
2019-03-12
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问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,又g(x)在[a,b]上连续,求证:存在ξ∈(a,b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ).
选项
答案
设∫g(x)dx是g(x)的某个原函数,并令R(x)=e
-∫g(x)dx
,作辅助函数F(x)=R(x)f(x),对F(x)在[a,b]上用罗尔定理,即知本题结论成立.
解析
注意对任何ξ∈(a,b),
f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)
f’(ξ)-g(ξ)f(ξ)=0
[f’(x)-g(x)f(x)]|
x=ξ
=0
[R(x)f’(x)-R(x)g(x)f(x)]|
x=ξ
=0
[R(x)f(x)]’|
x=ξ
=0,
其中R(x)是在[a.b]上连续,在(a,b)内可导,而且当x∈(a,b)时满足如下条件的任一函数:
R’(x)=-R(x)g(x),又R(x)≠0.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/guP4777K
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考研数学三
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