设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式 ①PA=B． ②P-1ABP=BA ③P-1AP=B． ④PTA2P=B2．成立的个数是 ( )

admin2014-04-23 91

问题设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式
①PA=B．
②P^-1ABP=BA
③P^-1AP=B．
④P^TA²P=B²．
成立的个数是 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析逐个分析关系式是否成立．①式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，故存在可逆阵Q，Q，使QA=E，WB=E(可逆阵可通过初等行变换化为单位阵)，故有QA=WB，W^-1QA=B．记W^-1Q=P，则有PA=B成立．故①式成立．②式成立．因为A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A^-1(AB)A=(A^-1A)BA=BA．故②式成立．③式不成立．
因为A．B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B之间不一定相似．例如

(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵P，均有P^-1AP=P^-1EP=E≠B．故③式不成立．④式成立．
因为A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A²，B²的特征值均大于零．故A²，B²的正惯性指数为n(秩为n负惯性指数为0)，故A²

B存在可逆阵P，使得p^TA²P=B²，故①式成立．
由上分析，故应选C．
【注】由本题可知，两个同阶可逆阵A，B必是等价的(由式①知)，且其积AB，BA必是相似的(由式②知)．但A，B不一定相似(由式③知)，但两个实对称可逆阵A，B，其平方A²与B²一定是合同的(由式④知)．

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考研数学一

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设f(x1，x2，x3)＝XTAX，其中A为3阶实对称矩阵，A93＝0，又｜2E＋A｜＝0．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型XTAX化为标准形．

多项式f(x)＝中x3项的系数为________．

设y0(x)为微分方程xyy’－y2＝－x3e－2x满足初始条件y(1)＝e－1的特解，则曲线L：y＝y0(x)(x≥0)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一周而成的体积为_____________．

α1，α2，α3，α4均是3维非零向量．则下列命题正确的是()

设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续．当f(x)具有一阶连续导数，且满足时，则()．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+a(x)其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点（6，f(6)）处的切线方程。

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已知ξ=[1，1，-1]T是矩阵的一个特征向量．确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；

Y服从参数X的指数分布，而X是服从[1，2]上的均匀分布的随机变量．求P{Y≤X}．

某班数学考试成绩呈正态分布N(70，100)，老师将最高成绩的5％定为优秀，那么成绩为优秀的最少成绩是多少?

在ICD-10第一卷中，内容类目表和四位数亚目、肿瘤形态学这两部分的编码的排列方法是

脊髓损伤确定运动神经平面的关键肌的肌力应达到几级

某国土资源局以陈某违反《土地管理法》为由，向陈某送达决定书，责令其在10日内拆除擅自在集体土地上建造的房屋3间，恢复土地原状。陈某未履行决定。下列哪一说法是错误的?(2011年卷二48题)

如果一种危险物具有多种事故形态，且它们的事故后果相差不大，则按统计平均原理估计事故后果，这体现了事故严重度评价应遵循的()。

要消除环境因素对施工质量的不利影响，主要是采取(　　)的控制方法。

形式为“优、良、中、差”的员工素质测评标度为()。

这里是典型的黄土高原沟壑区，水土流失非常严重。土地贫瘠，十年九旱。尽管有国家的好政策，使部分群众走上了致富的道路，但仍有不少农民挣扎在贫困线上。这段话主要说明了()。

若将n个顶点e条弧的有向图采用邻接表存储，则拓扑排序算法的时间复杂度是()。

明朝初年在乡问创设的申明亭，具有基层司法组织的功能。通常可以由申明亭受理和调处的案件包括()。(2015多60)

CarThievesCouldBeStoppedRemotely(遥远地)Speedingoff(超速行驶)inastolencar,thethiefthinkshehasgotagreatcatch.But

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