设f(x1，x2，x3)＝XTAX，其中A为3阶实对称矩阵，A93＝0，又｜2E＋A｜＝0． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型XTAX化为标准形．

admin2021-03-10 96

问题设f(x₁，x₂，x₃)＝X^TAX，其中A为3阶实对称矩阵，A

93＝0，又｜2E＋A｜＝0．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型X^TAX化为标准形．

选项

答案由｜2E＋A｜＝0得λ₁＝－2为矩阵A的特征值；由A[*]＝0得A[*] 即λ₂＝λ₃＝0为矩阵A的特征值，其对应的线性无关的特征向量为α₂＝[*]．令λ₁＝－2对应的特征向量为α₁＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以[*]即[*] λ₁＝－2对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*] 令P＝[*]，由P^－1AP＝[*]得 A＝P[*] (Ⅱ)因为α₂＝[*]正交，所以α₁，α₂，α₃两两正交，令γ₁＝[*] 取Q＝[*]

解析

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考研数学二

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设f(x1，x2，x3)＝XTAX，其中A为3阶实对称矩阵，A93＝0，又｜2E＋A｜＝0． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型XTAX化为标准形．

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