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设0＜a＜b，证明不等式

admin2019-03-21  65
问题 设0＜a＜b，证明不等式
  
选项
答案先证右边不等式，即[*]， 设[*]， 因为[*]， 故当x＞a时，ψ(x)单调减少，又ψ(a)＝0，所以，当x＞a时，ψ(x)＜ψ(a)＝0，即 [*]， 从而当b＞a＞0时，有 [*]， 再证左边不等式，即[*]。 方法一 设函数f(x)＝lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知至少存在一点ξ∈ (a，b)，使 [*]， 由于0＜a＜ξ＜b，故 [*]， 从而[*]。 方法二 设f(x)＝(x2＋a2)(lnx—Ina)－2a(x－a) (x＞a＞0)， 因为[*]， 故当x＞a时，f(x)单调增加，又f(a)＝0，所以当x＞a时， f(x)＞f(a)＝0，即(x2＋a2)(lnx—lna)－2a(x－a)＞0． 从而当b＞a>＞时，有(a2＋b2)(lnb—lna)－2a(b－a)＞0，即[*]。
解析 [分析]  将原不等式变形，作辅助函数，再用函数不等式的证明方法证明变形的不等式．
[评注]  不等式的证明是考研的重点之一，不等式证明的主要方法有：微分中值定理、单调性、极值与最值及凹凸性和泰勒公式．
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考研数学二

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