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  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证： ∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x—a)(x—b)dx．

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证： ∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x—a)(x—b)dx．

admin2020-03-05  26
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：
    ∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x—a)(x—b)dx．
选项
答案连续利用分部积分有 ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf’(x)(x一b)d(x一a) =f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x—b)] =f(a)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf"(x)(x一a)(x一b)dx =f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x一a)(x一b)dx， 移项后得 ∫abf(x)dx=[*]f"(x)(x一a)(x一b)dx．
解析 很自然的想法是用分部积分法，但要注意“小技巧”：
   ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)，或∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一a)，
这样改写后分部积分的首项简单．这一点考生应熟练掌握．
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