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设函数f(x)=则下列结论正确的是( )。
设函数f(x)=则下列结论正确的是( )。
admin
2018-11-16
85
问题
设函数f(x)=
则下列结论正确的是( )。
选项
A、f(x)有间断点
B、f(x)在(-∞,+∞)上连接,但在(-∞,+∞)内有不可导的点
C、f(x)在(-∞,+∞)内处处可导。但在f
’
(x)在(-∞,+∞)上不连续
D、f
’
(x)在(-∞,+∞)上连续
答案
C
解析
本题主要考查分段函数在分界点处的连续性,可导性及导函数的连续性问题。f(x)的定义域是(-∞,+∞),它被分成两个子区间(-∞,0]和(0,+∞),在(-∞,0]内f(x)=x
2
,因而它在(-∞,0]上连续,在(-∞,0)内导函数连续,且f
’
-
(0)=0;在(0,+∞)内f(x)=
,因而它在(0,+∞)内连续且导函数连续。
注意
,因而f(x)在(-∞,+∞)连续,可见A不正确;又因
,即f(x)在x=0右导数f
’
+
(0)存在且等于零,这表明f
’
(0)存在且等于零,于是,f
’
(x)在(-∞,+∞)上处处存在,可见B不正确;注意,当x>0时,f
’
(x)=
,于是
不存在,这表明f
’
(x)在x=0处间断,可见C正确,D不正确,故选C。
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考研数学三
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