(1994年)设当χ＞0时，方程kχ＋＝1有且仅有一个解，求k的取值范围．

admin2016-05-30 80

问题 (1994年)设当χ＞0时，方程kχ＋

＝1有且仅有一个解，求k的取值范围．

选项

答案设f(χ)＝kχ＋[*]－1，则f′(χ)＝k－[*]，f〞(χ)＝[*]＞0 1)当k≤0时，f′(χ)＜0，故f(χ)递减，又[*]f(χ)＝＋∞ 当k＜0时，[*]f(χ)＝－∞，当k＝0时，[*]f(χ)＝－1 ∴当k≤0时，原方程在(0，＋∞)内有且仅有一个解． 2)当k＞0时，令f′(χ)＝0，得χ＝[*]，且为极小值点，又f〞(χ)＞0，则f′(χ)单增，而f′[*]＝0，则在(0，[*])上f′(χ)＜0，f(χ)单调减，在([*]，＋∞)上F′(χ)＞0，f(χ)单调增，又[*]f(χ)＝＋∞，[*]，f(χ)＝＋∞，所以当且仅当f([*])＝0时，原方程有且仅有一个解．即[*]时，原方程有且仅有一个解．由上式解得k＝[*] 而当k≠[*]时，原方程或无解，或有两个解．综上所述，当k＝[*]或k≤0时，方程有且仅有一个解．

解析

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考研数学二

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