从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水密度为ρ，仪器所受的阻力与下沉速

admin2019-04-08 61

问题从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水密度为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)．

选项

答案取沉放点为原点O，y轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 [*] 令[*]，视y为自变量，将上述方程降阶，将[*]，代入上式中得可降阶的微分方程[*]，即 [*] 积分得 [*] 由初始条件v｜_y=0=0定出 [*]，故所求的函数关系式为 [*]

解析

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考研数学一

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(2016年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)确定，则dz|(0,1)=______________。

(2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为()

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2)}=________。

设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=f’(ξ)(b—a)．(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且=A，则f’(0)存在

设f(x)为连续函数，计算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．

设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．

求I=，其中∑为x2+y2+z2=1被z=所截的顶部．

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

人民法院适用普通程序审理案件,应当自立案之日起()审结。

()是指通过对违反会计职业道德行为和违法会计行为典型案例进行讨论和剖析，从中得到警示，提高法律意识，加强会计职业道德观念和辨别是非的能力。

下列选项中，(　　)不属于要约发出以后，不发生效力或消灭其效力的情况。

消费税不是在生产、流通、消费所有环节征收,其纳税环节主要是在生产经营过程中的某一特定环节。()

在消化过程中分解为糖的食物是人体血液内葡萄糖的来源，饮用咖啡后，在消化过程中并不能分解为糖。然而，人饮用不加糖和奶的咖啡后，也会引起血液葡萄糖的大量增加。以下哪项帮助解释咖啡对血液葡萄糖水平的作用?

设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0．

Canadianpoliceand【D1】teamswereworkingTuesdayafternoonto【D2】about300peoplestrandedafterwhatalocaloffic

ExchangeRates:ABriefHistoryofExchangeRatesForcenturies,thecurrenciesoftheworldwerebackedbygold.Thatis,a

A、Peoplewhoeatspoiledfoodmaygetsick.B、Farmershavetothrowawayspoiledproducts.C、Farmershavetosellthespoiledpr

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(2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为()

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。

设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2)}=________。

设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=f’(ξ)(b—a)．(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且=A，则f’(0)存在

设f(x)为连续函数，计算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x3，y=1，x=－1围成的区域．

设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．

求I=，其中∑为x2+y2+z2=1被z=所截的顶部．

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

人民法院适用普通程序审理案件,应当自立案之日起()审结。

()是指通过对违反会计职业道德行为和违法会计行为典型案例进行讨论和剖析，从中得到警示，提高法律意识，加强会计职业道德观念和辨别是非的能力。

下列选项中，( )不属于要约发出以后，不发生效力或消灭其效力的情况。

消费税不是在生产、流通、消费所有环节征收,其纳税环节主要是在生产经营过程中的某一特定环节。()

在消化过程中分解为糖的食物是人体血液内葡萄糖的来源，饮用咖啡后，在消化过程中并不能分解为糖。然而，人饮用不加糖和奶的咖啡后，也会引起血液葡萄糖的大量增加。以下哪项帮助解释咖啡对血液葡萄糖水平的作用?

设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且，求证：存在ξ∈(0，4)使得f(ξ)十f(4一ξ)=0．

Canadianpoliceand【D1】______teamswereworkingTuesdayafternoonto【D2】______about300peoplestrandedafterwhatalocaloffic

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A、Peoplewhoeatspoiledfoodmaygetsick.B、Farmershavetothrowawayspoiledproducts.C、Farmershavetosellthespoiledpr

下列选项中，(　　)不属于要约发出以后，不发生效力或消灭其效力的情况。

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