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设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
admin
2018-04-08
78
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n。
选项
答案
必要性：设B
T
AB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量x≠0，有x
T
(B
T
AB)x＞0，即(Bx)
T
A(Bx)＞0，于是，Bx≠0，即对任意的实n维列向量x≠0，都有Bx≠0(若Bx=0，则A(Bx)=A0=0，矛盾)。因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n(Bx=0有唯一零解的充要条件是r(B)=mn)。 充分性：因A为m阶实对称矩阵，则A
T
=A，故(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB，根据实对称矩阵的定义知B
T
AB也为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的实n维列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)
T
A(Bx)=x
T
(B
T
AB)x＞0，故B
T
AB为正定矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Alr4777K
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考研数学一
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