设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明存在一点ξ∈(a，b)，使得｜f"(ξ)｜≥｜f(b)—f(a)｜。

admin2020-03-05 20

问题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明存在一点ξ∈(a，b)，使得
｜f"(ξ)｜≥

｜f(b)—f(a)｜。

选项

答案已知f’(a)=f’(b)=0，则将f(x)分别按(x一a)，(x一b)的幂展开成二次泰勒多项式 [*] 令｜f"(ξ)｜=max{｜f"(ξ₁)｜，｜f"(ξ₂)｜}。则 [*][f"(ξ₁)｜+｜f"(ξ₂)｜]≤[*]×2×｜f"(ξ)｜=｜f"(ξ)｜，因此 [*]｜f(b)一f(a)｜≤｜f"(ξ)｜。故原命题得证。

解析

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