2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明存在一点ξ∈(a，b)，使得 ｜f"(ξ)｜≥｜f(b)—f(a)｜。

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明存在一点ξ∈(a，b)，使得 ｜f"(ξ)｜≥｜f(b)—f(a)｜。

admin2020-03-05  21
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明存在一点ξ∈(a，b)，使得
    ｜f"(ξ)｜≥｜f(b)—f(a)｜。
选项
答案已知f’(a)=f’(b)=0，则将f(x)分别按(x一a)，(x一b)的幂展开成二次泰勒多项式 [*] 令 ｜f"(ξ)｜=max{｜f"(ξ1)｜，｜f"(ξ2)｜}。 则 [*][f"(ξ1)｜+｜f"(ξ2)｜]≤[*]×2×｜f"(ξ)｜=｜f"(ξ)｜， 因此 [*]｜f(b)一f(a)｜≤｜f"(ξ)｜。 故原命题得证。
解析
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考研数学一

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