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设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0,证明存在一点ξ∈(a,b),使得 |f"(ξ)|≥|f(b)—f(a)|。
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0,证明存在一点ξ∈(a,b),使得 |f"(ξ)|≥|f(b)—f(a)|。
admin
2020-03-05
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问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f’(a)=f’(b)=0,证明存在一点ξ∈(a,b),使得
|f"(ξ)|≥
|f(b)—f(a)|。
选项
答案
已知f’(a)=f’(b)=0,则将f(x)分别按(x一a),(x一b)的幂展开成二次泰勒多项式 [*] 令 |f"(ξ)|=max{|f"(ξ
1
)|,|f"(ξ
2
)|}。 则 [*][f"(ξ
1
)|+|f"(ξ
2
)|]≤[*]×2×|f"(ξ)|=|f"(ξ)|, 因此 [*]|f(b)一f(a)|≤|f"(ξ)|。 故原命题得证。
解析
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考研数学一
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