2. 考研
  3. 已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A＝AB－1＋C，则A＝( )．

已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A＝AB－1＋C，则A＝( )．

admin2022-04-10  56
问题 已知n阶矩阵A，B，C，其中B，C均可逆，且2A＝AB－1＋C，则A＝(    )．
选项 A、C(2E—B)
B、C(E一B)
C、B(2B—E)－1C
D、C(2B—E)－1B
答案D
解析 解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则．做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(A±B)－1≠A－1±B－1．
仅(D)入选．由于2A＝AB－1＋C，有
    2A—AB－1＝C，  且  A(2E—B－1)＝C，
又C可逆，则
    A(2E—B－1)C－1＝E，
故A可逆，且得
A＝[(2E－B－1)C－1]－1＝C(2B－1B－B－1)－1
＝C[B－1(2B－E)]－1＝C(2B—E)－1B．
注意  化简(2E—B－1)－1时常见下述错误：
    (2E－B－1)－1＝(2E)－1一(B－1)－1＝E—B，
或    (2E－B－1)－1＝2E－B．
这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的，一定要防止这种错误!
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考研数学三

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