2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)-∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤an≤f(1)．

设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)-∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤an≤f(1)．

admin2018-05-22  55
问题 设f(x)在[1，+∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)=a＞0，令an=f(k)-∫1nf(x)dx．证明：{an}收敛且0≤an≤f(1)．
选项
答案因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少． 又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])， 所以{an}单调减少． 因为an=[*]∫kk+1[f(k)-f(x)]dx+f(n)，而∫kk+1[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1，2，…，n-1) 且[*]f(x)=a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0． 由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[-1，+∞))，故an≥f(n)＞0，所以[*]an存在. 由an=f(1)+[f(2)-∫12f(x)dx]+…+[f(n)-∫n-1n(x)dx]， 而f(k)-∫k-1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤[*]an≤f(1)．
解析
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考研数学二

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